幾乎每個籃球運動員、教練或球迷都認為，球員身上有一種不可思議的熱手效應，一旦球員手感來了，投籃如有神助。然而長久以來，學界認為這就是一種巨大而普遍的認知錯覺。直到近幾年，新研究提供了強有力的證據，來支持熱手效應的存在。
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Go with the hot hand.
——籃球愛好者的一句口頭禪
這裡有一道用於展示概率是如何反直覺的思考題：
假設稍後要擲硬幣100 次——可以給出一系列正面（H）和反面（T）的序列。
現在你有選擇權，可以選擇積分規則。
規則A：對於序列中的每個HH，你都會得到一分；對於每個HT，對手都會得一分。
規則B：反過來，對於序列中的每個HH，對手都會得到一分；對於每個HT，則你得一分。
比如說序列片段HHHT，按A規則就是你得2分，對手1分。
問：為了積分高於對手，你應該選擇哪條規則？又或者說，兩條規則的獲勝概率是一樣的？
這道問題的答案是B。因為HH和HT的數學期望雖然是一樣的，但是得分分佈不同。此時前者過於集中（3個H得2分），導致它的勝率變低。
但是有很多朋友對這個結果抱持懷疑的態度。3月18日，多倫多大學的數學系助理教授丹尼爾·利特（Daniel Litt）在社群網路X（原twitter）上發佈了一則投票貼，其內容正是上面那個問題。在短短2天的時間裡，這個投票獲得了百萬瀏覽和近500的轉評。要知道，丹尼爾並不是什麼網紅，他平時會和一些數學愛好者或同行互動，分享一些相對硬核的數學內容——也就是絕大多數網友絲毫不想看的內容。所以，他的帖子通常只有個位數的轉評，而這一貼的熱度之高完全出人意料。
在參與轉發和討論的人中，有圖靈獎得主楊立昆（Yann LeCun），金融概率科學暢銷書《黑天鵝》的作者納西姆·尼可拉斯·塔勒布（Nassim Nicholas Taleb）等知名學者。很多人都給出了自己的分析。
24小時後投票人數已達5萬，雖然僅有10%的人答對。
多倫多大學數學系助理教授Daniel Litt發起的概率問題投票截圖|圖源：littmath@twitter.com。
我們當然可以為這個概率問題奉上嚴密的數學論證，但恐怕這也不是大多數讀者「想看」的內容。況且，如此埋沒這個問題的現實背景，實在是大煞風景！畢竟，用NBA和NCAA賽場上球員的狀態來理解數學模型，要形象具體得多，也更有趣。
《黑天鵝》的作者納西姆·尼可拉斯·塔勒布程式設計模擬硬幣投擲結果|圖源：nntaleb @twitter.com
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「瘋狂三月」和熱手效應
4月9日，NCAA「瘋狂三月」全美錦標賽決賽，康涅狄格大學以75:60大勝普渡大學。康涅狄格大學的籃球校隊6次打入NCAA決賽，6次奪冠！
NCAA（全國大學體育協會）是由美國和加拿大一千多所大學院校參與的體育運動協會。它舉辦各種體育項目的聯賽，包括籃球、橄欖球、棒球、冰球、田徑、體操、摔跤等。其中，最受關注的是NCAA男子籃球一級錦標賽，這項賽事每年3月舉行，通常稱為「瘋狂三月」。該賽事吸引了大量觀眾和運動員，成為美國大學生最重要的盛會之一。包括NBA在內的賽事直播，都會避開瘋狂三月裡的重要賽事。國內也有非常多的球迷每年追看這一賽事。
許多球迷一定還記得斯蒂芬·庫裡（Stephen Curry）在2008年NCAA上的超人表現：他帶領弱旅戴維森學院（Davidson College）取得勝利，同時在下半場幾乎以一己之力擊敗了強大的岡薩加（Gonzaga）隊。成就年輕庫裡的，是他的技術、運氣，還是那天他有什麼特別之處？
幾乎每個籃球運動員、教練或球迷都認為，一些球員有一種不可思議的熱手效應（hot-hand effect）——有人認為那就是現在更為出名的ZONE狀態或心流狀態。
熱手，基本上是說，球員會進入一種特殊的狀態；在這種狀態下，他們的個人球技和視野達到頂峰，投籃如有神助。歷史上像克雷格·霍奇斯（Craig Hodges）連續命中19個三分球，或已成為金州勇士隊控球后衛的斯蒂芬·庫裡在練習中連續投中105個三分球，籃球評論員通常會將其歸因於「手感來了」，「手熱起來了」。
用一些NBA球員的說法：你意識到，你的身體是協調的，你的思想是專注的，你情緒是自信的——因此成功是不可避免的，把球投入籃筐，簡直毫不費力。
然而，甚至就在NCAA的官方網站上，長久以來對熱手效應的解釋是：並不存在。那只是一種錯覺，因為我們作為人類有一種把隨機性片段當作是內在模式的傾向。事實上，在過去的30年裡，研究行為和決策的科學家一直持有這種觀點。
不久前剛剛去世的諾貝爾經濟學獎得主丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman）曾直言：「熱手效應是一種巨大而普遍的認知錯覺。」
丹尼爾·卡尼曼被譽為行為經濟學之父，他的暢銷著作《思考，快與慢》是引領無數人反思自身的決策方法和思考方式的啟蒙讀物。像卡尼曼這樣聲名卓著的學者絕非信口開河之人，他的論斷來自心理學家托馬斯·吉洛維奇（Thomas Gilovich）、羅伯特·瓦隆（Robert Vallone）和阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）在1985年發表的具有里程碑意義的論文《籃球賽中的熱手：關於隨機序列的誤解》[1]。這篇論文有時以三位作者的姓氏首字母GVT指代。
在研究NCAA歷史上投籃資料時，GVT發現，投籃命中和未中的出現次序與反覆擲硬幣看到的正面和反面的順序是無法區分的。
就像賭徒在擲硬幣時偶爾會出現連續的正面一樣，籃球運動員在投籃時也會偶爾連中。GVT得出的結論是，熱手是一種「認知錯覺」；人們傾向於在隨機性中「識別出」規律，將完全典型的隨機現象視為非隨機現象。
從此，學術界將熱手效應定性為「熱手謬誤」。
更重要的是，GVT發現，職業從業者（NBA球員和教練）不僅是認知錯覺的受害者，而且他們對熱手的信念是頑固的。在NBA的關鍵比賽裡，教練和球員傾向於把投球機會讓給看起來手熱的球員。
GVT的結果對心理學家和經濟學家如何思考資訊決策產生了深遠的影響。隨著GVT的結果被外推到籃球以外的領域，熱手謬誤成為一種文化模因。從金融投資到電子競技，均有所反映。
但，真的如此麼？
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NBA球員的場上表現與條件概率
無論科學家如何說，大多數籃球球迷一直相信熱手效應，這甚至反映在《NBA嘉年華》（NBA Jam）等電子遊戲中。在遊戲裡，如果玩家控制球員連續多次投籃入筐，球上就會帶著火焰。
當俱樂部僱傭的運動科學顧問向球員和教練講解GVT的研究結論時，很多球員都選擇無視。波士頓凱爾特人隊傳奇教練、「紅衣主教」阿諾德·雅各布·奧爾巴赫（Red Auerbach）有句名言：「這個人（GVT）是誰？他做了個研究，但我不在乎。」
學術界的反對意見同樣強烈，但特沃斯基和吉洛維奇成功地捍衛了他們的論點，同時指出了反對他們的論文裡所存在的嚴重缺陷。所以，之後雖仍存在一些孤立的質疑者，但GVT的結果已被當作是科學界（但非籃球界）的共識。
這種情況直到2017年才發生了變化，當時一篇開創性的論文[2]顯示，GVT的經典研究——以及後來基於它的研究——存在小而顯著的選擇偏差，從而影響了統計結果。基本上，研究團隊在尋找連勝或熱手現象時選擇樣本的方式使他們的數學模型無效。當研究人員考慮把偏差納入計算時，熱手效應就應該是存在的。當球員變得炙手可「熱」時，他們是場上不可忽視的力量。
兩名資訊科學、運營和決策技術領域的研究員——博科尼大學（Bocconi University）決策科學系副教授約書亞·米勒（Joshua Miller）和阿利坎特大學（The University of Alicante）經濟學副教授亞當·桑朱爾喬（Adam Sanjurjo）重新審視了GVT的概率模型，發現後者做了一個隱含的假設，即如果每個球員的100次投籃結果的序列是由擲硬幣決定的，則他們連續得分能力的統計資料也必然遵循同樣的分佈。
令人驚訝的是，這種直覺上顯然的預設前提是不正確的。注意，就是在這裡，籃球比賽和卷首那個概率問題聯繫到了一起！
米勒和桑朱爾喬認為，為熱手效應構建數學模型，對應的不僅是隨機投擲硬幣得到的正（H，對應投籃命中）、反（T，對應投籃未中）序列，還要考慮正正（HH，連續得分，有手熱徵兆）和正反（HT，得分後再投未中）。然而就像筆者一直在強調的，HH和HT的概率雖然是相同的，但前者出現的時候更加集中！這一事實導致GVT的論證失效了。
完整的論證可以在參考文獻[2]中找到，該論文可線上獲取。在這裡的推理應用了所謂的限制選擇原則，該原則出現在橋牌中，並且是新資訊更新信念的標準數學程序——即貝葉斯推理——背後的直覺理念。米勒兩人的結果與各種概率謎題和統計偏差聯繫起來，問題的最簡單版本幾乎等同於著名的蒙提霍爾三門問題（Monty Hall problem），後者曾難倒了著名的數學家保羅·埃爾德什（Paul Erdős）和許多其他聰明人。
本文的目的恰好與米勒和桑朱爾喬兩人的目標相悖。他們兩人當初是為熱手效應尋找一個數學模型，而我們則是為了解答最開始的思考題，為數學模型尋找一個可以直觀理解它的現實場景！所以，我們現在就可以用NBA球星的表現來解讀原始問題的答案為何是B。
如果一個NBA球員狀態起伏不定，手熱的時候（隨機手熱，無法控制）一場可以砍下80分，但是手不熱時，得分就變成了個位數；同時他的隊友的場均得分和他相當，但是每場得分的上下波動在5分以內，那麼實際上他對隊伍貢獻不如每場得分更均勻的隊友。
原題裡的規則A，就是一個運氣好的時候可以拿到極高分的「選手」。這個選手在某幾場比賽裡，以高比分碾壓對手，但如果只看平均得分的話，他和對手得分相當，而對手每次獲勝又都是以微弱優勢勝出，那就說明一個「賽季」下來，規則A輸多贏少。
所以，選擇規則A，獲勝的時候有高几率是大比分獲勝，拿到了70或80分，但是實際上只要拿到50分就足夠了。更多的得分相當於浪費掉了。選擇規則B，最高也僅僅是50分，所以規則B每次獲勝的時候，得分更加均勻。反覆玩這個遊戲（每次遊戲投擲100次硬幣），選B獲勝的次數會更多。
極客網站煎蛋網的ID為vevan的網友在CodePen線上社區上分享了用於模擬這個問題的程式碼段[5]，每次運行模擬10萬次遊戲。可以看到，HH勝出46k次左右，HT勝出48k左右。規則B略佔優。
米勒也參與了對原題的討論，並給出了一個直觀解釋。| 圖源：jben0@twitter.com
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熱手效應的影響
對熱手效應的研究，不僅僅關乎NBA和籃球比賽本身——雖然NBA也是價值百億美元的大生意——它還關乎資訊行為決策以及統計學工具在現實世界裡的正確應用。
康涅狄格大學的經濟學副教授雷米·萊文（Remy Levin）對米勒和桑朱爾喬的這篇論文評價極高：「非常精彩，是我每年在行為學教學中最喜歡講授的內容之一。超級有趣、反直覺的有限樣本結果，對條件概率的測量實踐有重大影響。同時，這也是我最喜歡的科學成果之一。」
現在讓我們回到GVT的資料。GVT將投籃分為連續三次（或更多）得分和連續三次（或更多）投籃未中，並比較了各類資料的分佈。由於米勒兩人指出了一個令人驚訝的數學結論（也是我們的思考題！），他們發現，歷史資料裡連續投籃得分後，下一投也能得分的概率比人們預期的高出11個百分點！
在連續命中時，投籃準確率相對提升11個百分點是不容忽視的。事實上，這大致等於NBA中平均得分手和最佳三分射手之間的投籃命中率差異。因此，與最初發現的結果相比，GVT的資料揭示了實質性的、具有統計學意義的熱手效應！
更重要的是，支持熱手效應的證據並不唯一。事實上，在最近的研究中，我們發現這種效應在NBA三分球大賽中以及在其他對照研究中得到了體現。其他研究人員使用罰球和比賽資料進一步佐證了這一點。此外，由於另一個被稱為「測量誤差」的微妙統計問題，熱手效應很有可能比我們估計的更重要。
熱手效應背後的機制無疑是十分複雜的。有研究發現，類似於安慰劑效應，如果球員自己不相信熱手效應，則他就難以獲得超出平時的手感。
2022年的研究[3]進一步指出，手熱並不意味著球員可以突然從球場上的任何地方投籃。對NBA的球員來說，手熱看起來就像是在比賽中發現了一個可以利用的漏洞——可能是一個更矮的球員在防守他們——並通過採取更多某種類型的投籃來利用漏洞。
雖然這個假設是合理的，但它可能也不是導致手熱的唯一因素。短期神經可塑性——玩家大腦快速適應遊戲條件的能力——會是一個原因嗎？專注力和心理準備呢？不管是什麼原因，現有研究提供了強有力的證據來支持熱手效應的存在。
因此，令人驚訝的是，那些NBA球星的經驗實際上一直都是正確的。今天，NCAA的官方網站已經刪除了那個把熱手效應歸於認知謬誤的網頁。
參考資料
[1]The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences – ScienceDirect
[2] Surprised by the Gambler’s and Hot Hand Fallacies? A Truth in the Law of Small Numbers by Joshua B. Miller, Adam Sanjurjo :: SSRN
[3] The hot hand in the wild | PLOS ONE
[4]OSF Preprints | Surprised by the Hot Hand Fallacy? A Truth in the Law of Small Numbers
Momentum isn’t magic – vindicating the hot hand with the mathematics of streaks (theconversation.com)
[5] https://codepen.io/lunar-dark/pen/NWmpKpM
[6] The Hot Hand and Its Effect on the NBA: arXiv:2010.15943
本文經授權轉載自微信公眾號：返樸 作者：嘉偉