在中學數學課裡，除了學習如何計算，還會學到如何證明。證明是在公理、定理、假設或前提條件等基礎上，用邏輯的方法推匯出結果的過程。所以，我們很容易會認為所有的數學問題，只要使用公理或定理等加以檢驗的話，就一定能證明其真偽。

但是，根據「哥德爾不完全性定理」，這種想法卻是錯誤的。那麼，就讓我們來了解一下在證明數學問題的世界裡絕對逾越不了的「兩堵牆」吧。

「公理」是數學的出發點

「不完全性定理」是於1931年由出生在現捷克境內的奧地利數學家庫爾特·哥德爾（1906～1978）發表的。當時哥德爾年僅24歲。在20世紀的數理邏輯學（用數學方法解析邏輯學的領域）中，該定理被認為具有最大的影響。

庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel，1906～1978）

數學課總會講授「公理」(最基礎的前提條件）和「命題」(需要判斷其真偽性的問題）。公理的集合被稱作「公理系統」，基於「公理系統」就能夠證明「定理」。換句話說，公理就是證明的出發點。不完全性定理，就是陳述關於公理和命題相關性質的定理。

根據邏輯學闡明數學的原理

在20世紀初的數學界，既是哲學家、邏輯學家又是數學家的英國人伯特蘭·羅素（Bertrand Russell，1872～1970）和阿爾弗雷德·諾思·懷特海（Alfred North Whitehead，1861～1947）等人嘗試用公理和推理規則去闡述證明所有的數學原理。這與艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1642～1727）在其著作《自然哲學的數學原理》中闡明瞭自然界的原理一樣，只是把目光對準了數學界。羅素和懷特海為此寫下了著作《數學原理》。

在邏輯學裡，通常會把語句替換成邏輯符號。首先，把名詞或短語等用A、B、C……來替代；接著,將表示邏輯關係的「並且」「或者」「如果……那麼」等詞置換為「∧」「∨」「⇒」等符號。

邏輯學裡最有名的推理規則，應該要算「三段論」了。讓我們嘗試著把下面這段典型的通過兩個前提得出結論的三段論語句，替換成邏輯符號來表示。「如果早上起不了床，那麼就不能去聽課。如果不能去聽課，那麼就會留級。所以，如果早上起不了床，那麼就會留級」。假設A表示「早上起不了床」、B表示「不能去聽課」、C表示「留級」。於是，就可以把上面這段話變成「A⇒B。B⇒C。所以A⇒C」。

哥德爾發表的不完全性定理從根本上顛覆了羅素等人的嘗試，對邏輯學和數學的世界造成了很大的衝擊。

自涉悖論

為了讓大家更好地理解不完全性定理，我們先來試著考慮在哲學和邏輯學中常常被當做例子的「自涉悖論」。悖論指的是，從看似正確的前提和看似穩妥的推理過程出發，卻推匯出違背直覺令人難以接受的結論。在邏輯學裡，把對同一個對象或問題的兩個互相矛盾的命題，但又分別被證明成立的現象稱作「二律背反」。二律背反也是悖論的同義詞。

例如，像「這句話是錯誤的」這樣一個看起來沒什麼問題的簡單命題，就會引起悖論。這就是所謂的自涉悖論，這句話無法確定它是真（正確的）還是偽（錯誤的）。如果這句話是真，但是因為「這句話是錯誤的」，那麼這句話就變成偽。一個命題不可能既是真命題又是偽命題，由於產生了這樣的矛盾，因此，用反證法會得到它是偽命題。

但是，如果「這句話是錯誤的」是偽命題，那這句話反而又變成正確的了。這又出現了既是偽命題又是真命題的情況，也就是說，這裡發生了二律背反。所以，像這樣無法判斷是真是偽的命題是存在著的。

哥德爾不完全性定理中的「不完全性」（也作「不完備」），指的是「無法通過證明來判斷命題真偽」的意思。哥德爾通過使用與自涉悖論相似的討論方法，證明了在羅素等人的著作《數學原理》的體系裡存在著無法肯定也無法否定的「佩亞諾算術」命題，也即第一不完全性定理。隨後，通過運用此結果，推匯出了「無法在《數學原理》體系裡去證明《數學原理》體系裡不存在矛盾」的結論，也即第二不完全性定理。

上面所說的佩亞諾算術，指的是基於義大利數學家朱塞佩·佩亞諾（Giuseppe Peano，1858～1932）提出的五大算術公理建立的將自然數體系化的數學基礎理論。把佩亞諾公理系統中公理5的數學歸納法用「一階邏輯改寫，再追加自然數的和與積的公理後，就稱為「佩亞諾算術」。在本文開篇展示的不完全性定理中提到的「自然數論」，指的就是佩亞諾算術。

匯入哥德爾數來證明定理

那麼，哥德爾又是怎樣推匯出不完全性定理，以及怎麼證明它的正確性的呢？對此，哥德爾思考出了嶄新的方法，就是利用「哥德爾數」把算術的命題和證明等符號化（見下方圖文中的例子）。哥德爾在《數學原理》涵蓋的體系中，就通過使用哥德爾數，指出存在無法通過證明來判定真偽的命題。

在哥德爾數的基礎上，哥德爾運用被稱作「對角線方法」的數學工具，製作出了「此命題在《數學原理》的體系中無法證明」的佩亞諾算術命題。基於此，證明了第一不完全性定理。

對角線方法是數學裡的一種證明方法。哥德爾利用對角線方法進行的證明全過程非常複雜也非常巧妙，在本文有限的篇幅裡很難詳細地清楚說明。所以，在此就用相對來說比較簡單的「康托爾的對角線方法」，對其精華部分簡單介紹一下（下圖）。

首先，準備9個兩面分別為黑白色的翻轉棋（黑白棋）棋子，擺放為3×3的形式（橫向3行縱向3列）。接著，把處於對角線上的3個棋子翻轉後，當作第4行的棋子。新生成的第4行的第1個棋子是從第1行的第1個棋子翻轉過來得到的，所以第4行與第1行的棋子排列相異。同樣的，第4行與第2行至少在第2個棋子上不同，與第3行至少在第3個棋子上不同。像這樣，通過翻轉對角線上的棋子，就能夠生成與之前的3行都不一樣的新的排列了。

最後，我們再把3×3擴展到n×n來看看。如果準備每組有n個n組棋子，並把每一組記為L₁，L₂，L₃……L_n。通過只翻轉對角線上的棋子，就一定能夠得到一組新的與L₁……L_n都不一樣的棋子排列。

德國數學家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor，1845～1918）基於這樣的對角線方法，證明了對於所有的集合（包含無限集合），總存在集合元素個數更多的集合。因此，這也被稱為「康托爾的對角線方法」。

由於哥德爾通過巧妙使用哥德爾數和對角線方法證明了不完全性定理的正確性，導致了被稱為「希爾伯特計劃」的數學計劃以失敗而告終。希爾伯特計劃指的是在20世紀20年代，以被稱為「現代數學之父」的德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）為中心推進的數學計劃。這個計劃的最大目的就是「要展示在數學裡是不存在矛盾的」（不存在矛盾在數學上被稱為「相容性」)。

但是，由於出現了第二不完全性定理，導致這個計劃的目標無法實現。希爾伯特也曾定下展示「數學完全性」的目標，但是根據第一不完全性定理，這也成為了不可能的事。這位數學家當時的失望心情應該很難想象吧。

哥德爾與愛因斯坦一起度過的時光

最後，讓我們回顧一下哥德爾的生平。哥德爾於1906年4月28日出生於奧匈帝國布爾諾（現捷克境內的城市）的一個富裕的奧地利裔家庭。1924年，他進入奧地利的維也納大學學習，最開始學習物理，隨後決心把數學作為自己研究的中心。

不完全性定理發表於1931年。1940年，為了逃離納粹德國，他與妻子阿黛爾一起前往美國。雖然他不是猶太人，但是有一天卻被納粹分子當作猶太人而遭受襲擊。當時阿黛爾用雨傘趕走了納粹分子，沒有發生嚴重的後果，但是這件事讓哥德爾感受到了危險，並開始考慮是否需要離開歐洲。當時，幫助他們去往美國的正是匈牙利裔著名數學家約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann，1903～1957）。

哥德爾到達美國後，於普林斯頓高等研究院任職，與物理學家阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein，1879～1955）成為了同事。據說，愛因斯坦認為哥德爾的智力水平與自己匹敵，非常喜歡和他一起討論問題。之後，哥德爾再也沒有回過歐洲。

對宇宙物理和人工智慧也有影響

哥德爾在普林斯頓高等研究院時，除了與愛因斯坦，還跟幫助他來到美國的馮·諾伊曼、「曼哈頓計劃」的負責人羅伯特·奧本海默（Robert Oppenheimer，1904～1967）等很多著名學者有過密切的交流。其中，哥德爾受到愛因斯坦的強烈影響，對廣義相對論進行了深入研究，隨後構築了被稱作「哥德爾宇宙」的宇宙論。哥德爾於1978年1月14日病逝於普林斯頓醫院，享年71歲。

在哥德爾去世後，他提出的不完全性定理在電腦科學、人工智慧等領域常常被引用。實際上，在哥德爾生前的某次演講中，就曾對英國數學家艾倫·圖靈（Alan Turing，1912～1954）所設想的計算機原型「圖靈機」做了評論。從中可以看出，哥德爾在當時就已經對人類的理性與機器之間有了深刻的思考。可以說，哥德爾在年僅24歲時發現的定理是構建現代科學技術的基礎之一。

新媒體編輯 | 張麗君

本文經授權轉載自微信公眾號：科學世界 作者：科學世界