玻爾（右）和索未菲（左）。來源：AMERICAN PHILOSOPHICAL SOCIETY / SCIENCE PHOTO LIBRARY
導讀：
粒子物理學標準模型（Standard Model of Particle Physics）是現代物理學中最成功的理論之一，它成功地解釋了已知的基本粒子和它們的相互作用，深刻地改變了我們對物質和宇宙的理解。
《賽先生》向讀者隆重介紹一個全新專欄「標準模型小史」，該專欄由資深科普作家、中國科學院高能物理研究所研究員邢志忠主持。邢志忠教授從事基本粒子物理學理論研究三十餘年，非常熟悉標準模型的發展歷史。在他看來，標準模型猶如大象，一代又一代的理論家「盲人」摸索著將它的全貌拼了出來。在本系列文章中，他將從一個科普作者的角度，帶領讀者回顧標準模型的發展歷程，深入探討其基本原理。
今天發表第一篇「玻爾和索末菲：兩位原子物理大師的恩怨情仇」，讓我們一起關注100多年前開啟粒子物理學標準模型理論的兩位關鍵人物——成功建構原子模型的玻爾與索末菲。
我們希望通過這個專欄，將複雜的科學原理變得更加容易理解，幫助深入了解宇宙的基本構建，啟發讀者的好奇心，感受科學的魅力，併為讀者提供一個學習與交流的平臺。《賽先生》和作者歡迎您的寶貴意見。
邢志忠｜撰文
原子的「太陽系模型」是由紐西蘭裔英國物理學家歐內斯特·拉塞福（Ernest Rutherford）在1911年提出來的[1]，其要點其實很簡單：原子的質量幾乎全部集中於尺度極小、帶正電荷的核心區域——原子核，而攜帶等量負電荷的電子則圍繞原子核沿圓周軌道運動，電子的數目決定了該原子的化學性質。許多物理學家認為，這是拉塞福一生中所做的最重要的科學發現，其意義甚至超過了他在1908年榮獲諾貝爾化學獎的工作，即關於元素蛻變及放射化學的研究成果。不過拉塞福的原子模型存在一個難以自圓其說的嚴重問題：圍繞原子核作圓周運動的電子會由於不斷輻射電磁波而損失能量，導致其軌道半徑逐漸減小，直至最終落入原子核而造成原子結構的塌縮。但真實情況並非如此，因為原子是穩定的。令人信服地解決了這一難題的是丹麥物理學家尼爾斯·玻爾（Niels Bohr）和德國物理學家阿諾德·索末菲（Arnold Sommerfeld），他們分別於1913年和1915年提出了量子化的原子模型，其中的電子分別沿圓周軌道和橢圓軌道運動。
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1. 量子化的氫原子模型
1907年5月，36歲的拉塞福從加拿大返回英國，出任曼徹斯特大學物理系主任。一年之後，自認為算是物理學家的他卻莫名其妙地獲得了諾貝爾化學獎。不管怎樣，拉塞福的傑出科學成就和巨大個人魅力使得曼徹斯特很快就成為國際核物理學的主要研究中心之一，吸引了世界各地的年輕學子前來訪問學習。
1912年3月，27歲的丹麥青年玻爾來到曼徹斯特大學，在拉塞福的實驗室開展了為期4個月的訪問研究。他選擇的研究課題就是拉塞福的原子模型，而問題的關鍵在於如何理解原子的穩定性。玻爾假設經典物理學對原子是無效的，需要藉助德國物理學家馬克斯·普朗克（Max Planck）在1900年提出的量子假說才能正確地描述原子的結構 [2]。電子在氫原子中只能處於某些確定的圓形軌道上，即所謂的定態軌道。處在定態軌道上的電子並不釋放能量，而只有當電子從一條軌道躍遷到另一條軌道時，才會輻射量子化的電磁波，即光子。這就定性地解釋了氫原子的穩定性問題，但這並沒有讓玻爾感到滿意，因為該模型似乎還缺少定量的預言能力。
1913年2月初，已經回到哥本哈根大學的玻爾受到同事的啟發，開始關注描述氫原子譜線波長的巴耳末公式，後者是由瑞士數學教師約翰·巴耳末（Johann Balmer）在1885年總結出來的經驗規律。玻爾驚喜地發現，定態軌道和量子躍遷的想法其實可以用來推匯出巴耳末公式。他後來回憶道，「就在我看到巴耳末公式的那一瞬間，茅塞頓開」。
於是玻爾完善了自己在曼徹斯特建立的氫原子模型，其要點如下：（1）電子在一些分立的定態軌道上圍繞原子核作圓周運動；（2）可能的定態軌道取決於電子的角動量，後者必須等於「約化的」普朗克常數
的整數倍；（3）電子在定態軌道上運動時既不發射也不吸收能量，只有當電子在不同的軌道之間躍遷時，才會發射或者吸收單頻光子，相應的譜線波長滿足巴耳末的經驗公式。
1913年7月、9月和11月，經由拉塞福的推薦，玻爾在久負盛名的英國《哲學與科學雜誌》（Philosophical Magazine and Journal of Science）上連續發表了3篇主標題均為「關於原子和分子的結構」（On the constitution of atoms and molecules）的系列論文 [3]，正式提出量子化的氫原子模型，從而成功地解釋了原子的穩定性問題和實驗上所觀測到的氫原子光譜特徵。
除了拉塞福本人，率先對玻爾這個名不見經傳的年輕人的新理論做出正面反應的大物理學家，還有慕尼黑大學的理論物理學教授兼理論物理所所長索末菲。在1914年6月1日寫給法國物理學家保羅·郎之萬（Paul Langevin）的信中，索末菲評論道，「玻爾的模型看起來很有道理，但我相信需要以更基本的方式重新詮釋這一模型」。當時對玻爾的原子模型構成直接挑戰的一個重要實驗事實是「斯塔克效應」，即德國物理學家約翰尼斯·斯塔克（Johannes Stark）在1913年所發現的氫原子光譜線在電場的影響下會發生分裂的現象 [4]。於是如何修改玻爾模型以解釋新的實驗結果就成了一個迫在眉睫的理論問題。作為一位已經45歲「高齡」的大學教授，索末菲在第一次世界大戰爆發之際無需服兵役上前線，因此他利用1914和1915這兩年時間推廣了玻爾的理論，提出了自己的相對論性氫原子模型，從而合理地解釋了氫原子光譜的精細結構 [5、6]。
索末菲模型的主要新意在於：（1）引入電子的橢圓軌道代替圓周軌道，這與行星沿橢圓軌道圍繞太陽運動的宏觀實例是一致的；（2）將狹義相對論應用於描述高速運動的電子，而不是像玻爾那樣忽略相對論效應，從而使得阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）的相對論和普朗克的量子論在原子模型中都有所體現；（3）發明了一種將多個自由度同時量子化的途徑，即電子軌道的空間量子化方法。
不過老成持重的索末菲並沒有馬上發表他的理論，而是分別於1915年底和1916年初在巴伐利亞科學院的會議上報告了有關研究成果，並將基於報告總結出來的備忘錄寄給了愛因斯坦、玻爾等同行。直到1916年7月，索末菲才在德文期刊《物理學年鑑》（Annalen der Physik）上正式發表了他的原子模型，論文的題目為「關於光譜線的量子理論」（Zur Quantentheorie der Spektrallinien）[7]。在這篇具有里程碑意義的論文中，著名的精細結構常數
首次現身，它描述了氫原子光譜線在電場中發生相對論性分裂的程度。一旦取
，則有關解析結果將自動還原到玻爾模型的情形。
玻爾早期對索末菲的工作給予了極高的評價，他自己也曾嘗試將相對論和橢圓軌道用於氫原子模型。1916年3月19日，玻爾在寫給索末菲的信中說道，「不僅我本人，這裡的每個人都對你的重要而美妙的結果表現出了極大的興趣。我寫這些的目的就是想告訴你，在我自己的論文發表之前，收到你的論文是多麼令我喜出望外！鑑於你的工作讓我眼界大開，我當即決定暫緩發表自己的東西，而是先把它從頭到尾再仔細考慮一遍」。不過後來當很多著名科學家推薦玻爾和索末菲一同獲得諾貝爾獎時，玻爾的態度卻發生了令人意外的轉變。1922年，玻爾一個人獨自榮獲了諾貝爾物理學獎。從50年後解密的諾貝爾基金會的相關檔案中可以看出，當時玻爾本人強烈反對與索末菲分享諾貝爾獎，儘管兩個人是好朋友 [8]。
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2.神秘的精細結構常數
索末菲在他的相對論性原子模型中所引入的精細結構常數α，也被很多物理學家稱為索末菲常數。在高斯單位制中，該常數可由單位電荷e、真空中的光速和約化的普朗克常數ℏ這3個非常基本的物理學參數列達出來，即
。它描述的是帶電粒子之間發生電磁相互作用的強度，在較低能標的數值約等於。2005年，慕尼黑大學物理系為了紀念索末菲這位傑出的科學前輩和培養了數位諾貝爾獎得主的大教育家，成立了索末菲理論物理學中心，並在辦公樓內豎立了他的銅像，上面刻著α的表達式。
由於早期對精細結構常數的實驗測量存在一定的誤差，這使得的數值看起來更接近1/136。大約1929年前後，因在1919年5月29日觀測到日全食而證實了廣義相對論的英國天文學家亞瑟·愛丁頓（Arthur Eddington），做了一個大膽而天真的猜測：精細結構常數α的倒數很可能嚴格等於136。幾年之後，當進一步的實驗結果表明α的倒數更接近於137時，他又轉而對幻數137 著迷起來，以至於他的學生和朋友拿他的名字造了一個諧音梗，戲稱他為「Arthur Adding-one」（即137 = 136 + 1）。事實上，精細結構常數的大小是能標依賴的，當能量增至電弱對稱性破缺的能標時，由於量子修正效應，該參數將增至1/128左右。因此對這樣一個可變的「常數」作簡單的數值遊戲，其實是具有一定誤導性的。
神秘的1/α≈ 137讓一代又一代的物理學家既百思不得其解又鍾愛有加。索末菲的兩個得意門生魏納·海森堡（Werner Heisenberg）和沃夫岡·泡利（Wolfgang Pauli），終其一生都試圖利用圓周率π等簡單且基本的數字表達出精細結構常數的倒數，但都沒有獲得令人信服的成功。當泡利於1958年12月15日在蘇黎世的一家醫院去世時，人們驚奇地發現他竟然死在了137號病房！這也許純粹是個巧合，還是泡利本人生前自導自演的惡作劇？
生性幽默、甚至有點玩世不恭的美國實驗物理學家利昂·萊德曼（Leon Lederman）面對幻數137也不甘寂寞。在1979年至1989年擔任費米實驗室主任期間，萊德曼擅自作主，給自己在實驗室附近的獨棟房子的門牌號取作137號，儘管周圍的大街上其實沒有這麼多房子。尤其值得一提的是，大物理學家恩里科·費米（Enrico Fermi）有一張在黑板前講課的著名照片，而黑板上赫然寫著精細結構常數的表達式。細心的讀者會發現，費米把這個著名的常數錯誤地寫成了
。這不是在開玩笑吧？誰知道呢！其實寫錯了也沒關係，因為一位科學巨匠記不準一些具體的公式或數字並不罕見，最重要的是他們的科學思想經常超乎常人的想象。
恩里科·費米（Enrico Fermi）在黑板前講課的照片。圖源：U.S. Department of Energy / Flickr
作為相對論性原子模型和精細結構常數的提出者，索末菲與諾貝爾獎失之交臂是一件物理學界倍感遺憾的事情。事實上，普朗克等大物理學家向諾貝爾基金會提名和推薦索末菲的次數累計多達80餘次，比任何其他物理學家都多，但均無疾而終。或許諾貝爾獎評委會更偏好那些一舉扭轉乾坤的科學突破，而對索末菲一生積累的偉大成就的評價有些無所適從？無論如何，索末菲的名字都應該出現在二十世紀最偉大的物理學家的排行榜上。不僅如此，索末菲在教書育人方面的建樹幾乎無人能及：他的博士研究生中有四人獲得了諾貝爾獎，他們分別是海森堡、泡利、彼得·德拜（Peter Debye）和漢斯·貝特（Hans Bethe）；而他的碩士研究生中也有三人榮獲了諾貝爾獎，他們分別是萊納斯·鮑林（Linus Pauling）、伊西多·拉比（Isidor Rabi）和馬克斯·馮勞厄（Max von Laue）。這一點連愛因斯坦也不得不感到驚歎和佩服。慕尼黑德意志博物館的米歇爾·埃克特（Michael Ecket）曾經如此這般地將索末菲與普朗克和愛因斯坦相提並論：「普朗克是權威，愛因斯坦是天才，索末菲是恩師」[9]。
作為一位德高望重的老師，索末菲特別講究老派的德國禮儀，喜歡學生們在自己面前保持適度的恭敬，雖然他和年輕人在討論物理問題時會把一切繁文縟節都忘掉。就連生性狂妄不羈的泡利對導師也是恭敬有加，甚至曾經一本正經地給索末菲寫頻道，「您緊鎖的眉頭總是讓我深感敬畏。自從1918年我第一次見到您以來，一個深藏多年的秘密無疑就是，為什麼只有您能成功地讓我感到敬畏……」與泡利相比，海森堡對索末菲的感覺或許有所不同，畢竟自己和導師不僅擁有相同的星座，甚至連生日都是同一天：12月5日！作為射手座的一員，酷愛音樂和大自然的海森堡在親歷了第二次世界大戰的風雲變幻之後保持了樂觀豁達的精神，併成功地將德國科學界從戰後的廢墟中重建起來。
作者簡介:
邢志忠，中國科學院高能物理研究所研究員，研究領域為基本粒子物理學。著有原創科普圖書《中微子振盪之謎》，譯著包括《你錯了，愛因斯坦先生！》《改變世界的方程》《希格斯》等。座右銘為「一個人偶爾離譜並不難，難的是一輩子都不怎麼靠譜。」
參考文獻：（上下滑動可瀏覽）
[1]E. Rutherford, The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure of the atom, Phil. Mag. Ser. 6, 21 (1911) 669—688
[2]M. Planck, On the theory of the energy distribution law of the normal spectrum, Verh. Dtsch. Phys. Ges. Berlin 2 (1900) 237—244
[3]N. Bohr, On the constitution of atoms and molecules, Phil. Mag. Ser. 6, 26 (1913) 1—25; 6, 26 (1913) 476—502; 6, 26 (1913) 857—875
[4]J. Stark, Observation of the separation of spectral lines by an electric field, Nature 92 (1913) 401；
[4]A. Sommerfeld, Zur Voigtschen Theorie des Zeeman-Effects, Nachr. Ges. Wiss. Gӧttingen (1914) 207—229
[5]A. Sommerfeld, Zur Theorie der Balmerschen Serie, Sitzungsber. Münchener Akad. Wiss. (1915) 425—459
[6]A. Sommerfeld, Zur Quantentheorie der Spektrallinien, Ann. Phys. 51 (1916) 125—167
[7]H. Fritzsch, You are wrong, Mr. Einstein, Piper Verlag GmbH, München (2008)
[8]M. Eckert, How Sommerfeld extended Bohr’s model of the atom, Eur. Phys. J. H 39 (2014) 141—156
本文經授權轉載自微信公眾號：賽先生 作者：邢志忠