摺疊結構在日常生活和工程實踐中有著廣泛的應用，例如雨傘、摺疊椅、摺疊帳篷、摺疊天線等。然而，大多數的摺疊結構都是摺疊成二維或者三維的形狀，很少有能夠摺疊成一維形狀的摺疊結構。
圖1：曲邊六角環的四種穩定構型及其轉換路徑。
近日，史丹佛大學趙芮可教授團隊提出，並與哈佛大學John W. Hutchinson院士合作研究了一種能夠摺疊成直線構型的曲邊六角環結構。通過設計曲邊的自然曲率，這種六角環還能夠具有多個不同的穩定構型（圖1所示）。並且，結合理論建模、有限元仿真和實驗系統地研究了曲邊六角環的穩定特性和不同穩態之間的轉換機制。在此基礎上，設計出了一種具有四個不同穩定構型的曲邊六角環摺疊結構（視訊1）。該結構相關工作最先發表在美國機械工程師學會會刊Journal of Applied Mechanics，其多穩態的系列研究成果發表於固體力學旗艦期刊Journal of the Mechanics and Physics of Solids。（想製作一個這樣的百變六角環嗎？製作方法請參考文末視訊）
視訊1：曲邊六角環四個穩定構型之間的相互轉換。
圖2：直邊六邊形環和曲邊六角環的摺疊。
該研究受啟發於直邊六邊形環的摺疊。如圖2所示，直邊六邊形環可以在外力作用下摺疊成一個三圈重疊的桃核形結構。研究團隊發現如果將桃核形結構的邊緣曲率賦予初始的六邊形環，得到的曲邊六角環可以摺疊成一個直線構型。為了更深入地研究這一現象，研究團隊首先基於理論建模和有限元仿真研究了不同邊緣曲率對曲邊六角環摺疊行為的影響。從圖3中可以看到，對於不同的邊緣曲率，曲邊六角環可以在外部載荷作用下發生突跳失穩（snap-through instability）而轉換成不同的穩定構型。並且, 當邊緣曲率大約在−1.8左右（圓弧對應的圓心角大約為120°）時，曲邊六角環可以摺疊成一個三層重疊的直線構型，其收納比也達到最低。值得一提是這個比例與曲邊六角環尖角處的圓角半徑有關，當圓角半徑為零時，曲邊六角環理論上可以摺疊成一個面積為零的直線。相關內容以「Curved ring origami: Bistable elastic folding for magic pattern reconfigurations」為題，發表於Journal of Applied Mechanics。史丹佛大學博士生戴繼澤為論文第一作者，趙芮可教授為論文通訊作者，博士後魯璐和博士生Sophie Leanza以及哈佛大學John W. Hutchinson院士為論文共同作者。
圖3：不同邊緣曲率的曲邊六角環的（a）摺疊構型、摺疊過程中的（b）彎矩和（c）能量曲線以及（d）收納比。
團隊進一步研究後發現，當改變曲邊六角環的自然曲率（將環斷開後自然狀態下的曲率）時，曲邊六角環可以在外部激勵作用下轉換成多種穩定構型，例如星形構型、雛菊構型、直線構型以及8字構型（如圖1所示）。為了釐清自然曲率對這些不同構型穩定性的影響機理，研究團隊基於能量變分方法對上述四種構型分別進行了穩定性分析，發現這些構型的穩定性取決於其自然曲率的大小以及橫截面的形狀。具體來說，當這些構型具有圓形或方形橫截面時，它們只能在特定的曲率範圍內各自穩定，而不能與其他構型相互穩定，即只能單穩態存在。當橫截面為矩形並選取合適的自然曲率時，這些構型之間可以兩個、三個甚至四個同時穩定。圖4所示為具有矩形截面的四種不同構型的穩態相圖，從中可以看到隨著橫截面縱橫比（h/t）的增加，這些構型能夠穩定的曲率範圍逐漸增大。當h/t>3.4時，這四種構型在特定曲率範圍內能夠同時穩定。例如，對於橫截面縱橫比為4的曲邊六角環，當其無量綱自然曲率在（0.63，0.75）範圍內時，四個構型同時穩定，即具有四個穩態。相關內容以 「Multiple equilibrium states of a curved-sided hexagram: Part I—Stability of states」 為題，發表於Journal of the Mechanics and Physics of Solids。史丹佛大學博士後魯璐為論文第一作者，哈佛大學John W. Hutchinson院士為論文通訊作者，史丹佛大學博士生戴繼澤和Sophie Leanza以及趙芮可教授為論文共同作者。
圖4：曲邊六角環的四種不同構型的穩態相圖。橫座標表示橫截面縱橫比，縱座標表示無量綱自然曲率。虛線表示自然曲率等於初始曲率，對應結構的初始無應力狀態。
最後，研究團隊還基於Kirchhoff杆理論建立了分析多穩態曲邊六角環不同構型相互轉換的理論模型。利用該模型，研究了曲邊六角環四種構型在穩定範圍內不同自然曲率下的轉換規律，結果得到了有限元仿真和實驗的完美驗證。研究發現，這幾種構型之間的轉換不僅取決於自然曲率的大小，而且還與外載荷的施加位置有關。如視訊2所示，對於星形構型，當其無量綱自然曲率在（0.03，0.25）之間時，它總是摺疊成直線構型；在（0.38，0.78）之間時，它總是翻轉到雛菊構型；而當在（0.26，0.37）之間時，星形構型在尖角處彎曲時會轉換到直線構型，在曲邊處彎曲時會轉換到雛菊構型。類似的現象也存在於雛菊構型和8字構型中（視訊2和3）。對於直線構型，其總是轉換成8字構型（自然曲率為正時，8字構型中間部分的邊會交叉）。基於這些發現，研究團隊製作了一個無量綱自然曲率為0.65，擁有四個穩定構型的曲邊六角環，然後給出了其四個構型之間相互轉換的載入策略，並通過實驗對其進行了驗證（曲邊六角環的轉換過程如視訊1所示，其製作方法可參考視訊4）。相關內容以 「Multiple equilibrium states of a curved-sided hexagram: Part II—Transitions between states」 為題，發表於Journal of the Mechanics and Physics of Solids。史丹佛大學博士後魯璐為論文第一作者，趙芮可教授為論文通訊作者，史丹佛大學博士生戴繼澤和Sophie Leanza以及哈佛大學John W. Hutchinson院士為論文共同作者。
視訊2：曲邊六角環的星形構型和雛菊構型在不同自然曲率範圍內的構型轉環。
視訊3：曲邊六角環的直線構型和8字構型在不同自然曲率範圍內的構型轉換。
視訊4：曲邊六角環的製作過程。
論文資訊：
JAM論文連結：https://doi.org/10.1115/1.4062221
JMPS論文Part I連結：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2023.105406
JMPS論文Part II連結：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2023.105407